[게임 물리] 운동 방정식(Equations of motion)

기본적인 개념 (운동 방정식을 들어가기 전)

1. 속도 * 시간 = 거리

속도와 시간을 곱하면 넓이가 나오고 이 넓이는 바로 이동한 거리이다

위의 그래프에서는 4m/s(속도) * 5s(시간)인 20m를 이동한 것이다

 

2. 기울기 == 가속도

함수의 그래프에서 기울기(m)는

Δy/ Δx를 통해 구할 수 있다

위의 그래프에서는 Δy는 10이고 Δx는 7이니

기울기는 10/7이다

 

이를 아래 그래프에 적용해 본다면,

기울기는 Δv/ Δt이고

이는 가속도 공식과 같다는 사실을 알 수 있다

따라서 우리는 등가속도 운동 그래프에서 기울기는 가속도라고 정의할 수 있다

 

 

3. 직선의 방정식

 

기울기와 y절편을 알고 있다면,

우리는 그래프를 쉽게 직선의 방정식으로 표현할 수 있다

위의 그림 예시처럼

기울기를 m, y절편(그래프와 y축이 만나는 지점)을 b라고 한다면

y = mx + b라는 함수라는 것을 알 수 있다

 

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운동 방적식 1번

 

직선의 방정식을 아래 그래프에 적용하면

쉽게 운동 방정식 1번을 도출해 낼 수 있다

Vf = at + Vi라는 함수라는 것을 알 수 있다

여기서 이 함수는 운동방정식 1번이다

 

또한, "Vf = at + Vi" 직선의 방정식을 통해서

해당 그래프에서 Vf - Vi가 at라는 것을 알아낼 수 있다

물론, Vf - Vi는 Δt이기 때문에

아래의 가속도 공식을 이용해서

ΔV = a * Δt라는 값을 알아낼 수 도 있다

 

 

운동 방정식 2번

등가속도 운동이라는 전제하에서 

시작 속도와 끝 속도를 더해서 2로 나누는

평균을 구하는 공식이다

 

 

운동 방정식 3번 

여기서 1/2(Vi + Vf)는 운동 방정식 2번이며

이를 활용해 면적을 구하는 공식이다

 

1번 예시

2번 예시

위의 2번 예시 그래프에서

운동 방정식 2번을 통해 구해진 V의 평균과 t를 곱하면 면적(이동한 거리)을 구할 수 있다

 

 

운동 방정식 4번

 

3번과 같이 면적을 구하는 공식이다

아래의 사각형 면적은 Vi * t 

위의 삼각형 면적은 at * 1/2t이다

이를 더한 것이 운동 방정식 4번이다

 

 

운동 방정식 5번

운동 방정식 1번 ~ 4번으로 대다수 문제들은 해결이 가능하다

해결이 안 된다면, 5번을 암기하여 활용하면 된다

 

아래를 통해 증명이 가능하다