[게임 수학] 행렬(1)

행렬의 정의

식 또는 수를 직사각형의 형태로 배열한 것이다

가로를 행(row), 세로를 열(column)이라 표현한다

배열된 수를 행렬의 성분(entry)라고 표현한다

행렬 표현은 대문자로 표현하고 내부값은 소문자로 표현한다

 

 

행벡터, 열벡터

행벡터는 DirectX에서 주로 이용되고

열벡터는 OpenGL, 언리얼, 유니티에서 주로 이용된다

행벡터와 열벡터의 차이점은 요소들이 배열되는 방향이다

행벡터는 수평적으로 요소가 배열되며, 열벡터는 수직적으로 요소가 배열된다

이러한 차이는 벡터의 사용 목적이나 특정 연산에 따라서 중요한 역할을 한다

예를 들어, 행렬 곱셈에서 행벡터와 열벡터의 순서가 중요하며, 이에 따라 연산 결과가 달라질 수 있다

 

 

행렬의 크기 표현

행렬의 크기 표현

 

행렬의 크기에 따른 행렬 종류

 

 

단위행렬

단위행렬(identity matrix)은

정사각형 행렬(즉, 행과 열의 개수가 같은 행렬) 중에서 대각선 요소가 모두 1이고,

나머지 요소는 모두 0인 행렬을 말하고 보통 I로 표기된다

단위행렬은 행렬 곱셈에서 곱해도 다른 행렬을 변화시키지 않는 역할을 한다

즉, 단위행렬(I)을 그 어떤 행렬과 곱해도 그 어떤 행렬의 값이 변하지 않는다

이러한 특성으로 단위행렬은 다양한 수학적 및 컴퓨터 그래픽스 연산에서 중요한 역할을 한다

 

 

행렬 연산(실수배, 덧셈, 뺄셈)

행렬 연산(덧셈, 뺄셈)의 조건

 

행렬 연산(실수배)의 경우는 그 어떤 행렬과도 결과가 나오지만

행렬 연산(덧셈, 뺄셈)의 경우는 위 그림처럼 같은 크기여야지만 계산이 가능하다

각각 연산의 방법은 아래와 같다

행렬 연산(실수배)은 각 entry에 스칼라에 곱해준다

행렬 연산(덧셈, 뺄셈)은 각 entry끼리 합과 차를 계산한다

 

 

행렬 곱셈

하나의 행과 하나의 열을 내적 한 값을 차례로 넣으면서 각 entry가 계산된다

 

 

행렬 곱셈 주의점

1) 행렬 곱셈이 되기 위해서는 A행렬의 열과 B행렬의 행의 개수가 같아야 한다

그리고 행렬 곱셈의 결과는 A행렬의 행과 B행렬의 열의 개수로 행렬의 크기가 결정된다 

 

2) 교환법칙이 성립하지 않는다

단, 교환법칙이 성립하는 행렬에는 단위행렬이 있다